Maxima Manual: Введение в пакет contrib

Стандартная процедура Maxima для решения обычных дифференциальных уравнений (ОДУ) ode2 решает элементарные линейные ОДУ первого и второго порядка. Функция contrib_ode расширяет ode2 дополнительными методами для линейных и нелинейных ОДУ первого порядка и линейных однородных ОДУ второго порядка. Даная программа находится в состоянии развития и форма вызова функций может измениться в последующих релизах. После стабилизации код может быть перемещен из директории contrib и интегрирован в ядро Maxima.

Для использования пакет должен быть загружен с помощью команды load("contrib_ode").

Функция contrib_ode вызывается также, как ode2. Она имеет три аргумента: ОДУ (если правая часть уравнения равна 0, то достаточно задать только левые части уравнений), зависимая переменная и независимая переменная. В случае успеха возвращается список решений.

Представление решений отличается от такового для ode2. Т.к. нелинейные уравнения могут иметь множественные решения., то contrib_ode возвращает список решений. Решение может иметь несколько различных форм:

%c представляет константу интегрирования для уравнений первого порядка. %k1 и %k2 – константы интегрирования для уравнений второго порядка. Если contrib_ode не может получить решение, то возвращается false, возможно, после печати сообщения об ошибке.

Необходимо возвращать список решений, т.к. нелинейные ОДУ первого порядка могут иметь множественные решения. Например:

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:x*'diff(y,x)^2-(1+x*y)*'diff(y,x)+y=0;

                    dy 2             dy
(%o2)            x (--)  - (x y + 1) -- + y = 0
                    dx               dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

                                             x
(%o3)             [y = log(x) + %c, y = %c %e ]
(%i4) method;

(%o4)                        factor

Нелинейные ОДУ могут иметь особые решения, не имеющие констант интегрирования, как второе решение в следующем примере:

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:'diff(y,x)^2+x*'diff(y,x)-y=0;

                       dy 2     dy
(%o2)                 (--)  + x -- - y = 0
                       dx       dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

                                           2
                                 2        x
(%o3)              [y = %c x + %c , y = - --]
                                          4
(%i4) method;

(%o4)                       clairault

Следующее ОДУ имеет два параметрических решение в терминах переменной %t. Из этих параметрических решений можно получить явные решения.

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:'diff(y,x)=(x+y)^2;

                          dy          2
(%o2)                     -- = (y + x)
                          dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

(%o3) [[x = %c - atan(sqrt(%t)), y = - x - sqrt(%t)], 
                     [x = atan(sqrt(%t)) + %c, y = sqrt(%t) - x]]
(%i4) method;

(%o4)                       lagrange

Следующий пример (Камке 1.112) демонстрирует неявное решение.

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) assume(x>0,y>0);

(%o2)                    [x > 0, y > 0]
(%i3) eqn:x*'diff(y,x)-x*sqrt(y^2+x^2)-y;

                     dy           2    2
(%o3)              x -- - x sqrt(y  + x ) - y
                     dx
(%i4) contrib_ode(eqn,y,x);

                                  y
(%o4)                  [x - asinh(-) = %c]
                                  x
(%i5) method;

(%o5)                          lie

Следующее уравнение Рикатти преобразуется в линейное ОДУ второго порядка для переменной %u. Maxima не может решить новое уравнение, и оно возвращается нерешенным.

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:x^2*'diff(y,x)=a+b*x^n+c*x^2*y^2;

                    2 dy      2  2      n
(%o2)              x  -- = c x  y  + b x  + a
                      dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

               d%u
               ---                            2
               dx        2     n - 2   a     d %u
(%o3)  [[y = - ----, %u c  (b x      + --) + ---- c = 0]]
               %u c                     2      2
                                       x     dx
(%i4) method;

(%o4)                        riccati

Для ОДУ первого порядка contrib_ode вызывает ode2. Затем применяются методы: факторизации, Клеро, Лагранжа, Рикатти, Абеля и метод симметрий Ли. Метод Ли не применяется к уравнениям Абеля, если метод Абеля не дает результата, но применяется если метод Рикатти возвращает нерешенное ОДУ второго порядка.

Для ОДУ второго порядка contrib_ode вызывает ode2, а затем odelin.

Если выполнена команда put('contrib_ode,true,'verbose), то печатается подробная отладочная информация.

42.1 Введение в пакет contrib_ode