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次数vと独立変数zの第一種ベッセル関数。
bessel_jは以下のように定義されます。
inf
==== k - v - 2 k v + 2 k
\ (- 1) 2 z
> --------------------------
/ k! gamma(v + k + 1)
====
k = 0
計算のために無限級数は使われませんが。
次数vと独立変数zの第二種ベッセル関数
vが整数でない時、
bessel_yは以下のように定義されます。
cos(%pi v) bessel_j(v, z) - bessel_j(-v, z)
-------------------------------------------
sin(%pi v)
vが整数nの時、 vがnに近づく極限が取られます。
次数v、独立変数zの第一種変形ベッセル関数
bessel_iは以下のように定義されます。
inf
==== - v - 2 k v + 2 k
\ 2 z
> -------------------
/ k! gamma(v + k + 1)
====
k = 0
無限級数は計算には使われませんが。
次数v、独立変数zの第二種変形ベッセル関数
vが整数の時
bessel_kは以下のように定義されます。
%pi csc(%pi v) (bessel_i(-v, z) - bessel_i(v, z))
-------------------------------------------------
2
もしvが整数nでないなら、 vがnに近づく極限が取られます。
次数v、独立変数zの第一種ハンケル関数 (A&S 9.1.3)。
hankel_1は以下のように定義されます。
bessel_j(v,z) + %i * bessel_y(v,z)
Maximaは、
浮動小数点精度の実数次数vと複素独立変数zに対して
hankel_1を数値的に評価します。
多倍長浮動小数点精度の数値評価と複素次数vはサポートされていません。
besselexpandがtrueの時、
次数vが奇数の1/2の時hankel_1は初等関数の項に展開されます。
besselexpandを参照してください。
Maximaはhankel_1の独立変数zに関する導関数を知っています。
例:
数値評価:
(%i1) hankel_1(1,0.5); (%o1) .2422684576748738 - 1.471472392670243 %i (%i2) hankel_1(1,0.5+%i); (%o2) - .2558287994862166 %i - 0.239575601883016
複素次数vはサポートされていません。 Maximaは名詞形を返します:
(%i3) hankel_1(%i,0.5+%i); (%o3) hankel_1(%i, %i + 0.5)
besselexpandがtrueの時のhankel_1の展開:
(%i4) hankel_1(1/2,z),besselexpand:true;
sqrt(2) sin(z) - sqrt(2) %i cos(z)
(%o4) ----------------------------------
sqrt(%pi) sqrt(z)
hankel_1の独立変数zに関する導関数。
次数vに関する導関数はサポートされていません。
Maximaは名詞形を返します:
(%i5) diff(hankel_1(v,z),z);
hankel_1(v - 1, z) - hankel_1(v + 1, z)
(%o5) ---------------------------------------
2
(%i6) diff(hankel_1(v,z),v);
d
(%o6) -- (hankel_1(v, z))
dv
次数v、独立変数zの第二種ハンケル関数 (A&S 9.1.4)。
hankel_2は以下のように定義されます。
bessel_j(v,z) - %i * bessel_y(v,z)
Maximaは、
浮動小数点精度の実数次数vと複素独立変数zに対して
hankel_2を数値的に評価します。
多倍長浮動小数点精度の数値評価と複素次数vはサポートされていません。
besselexpandがtrueの時、
次数vが奇数の1/2の時hankel_2は初等関数の項に展開されます。
besselexpandを参照してください。
Maximaはhankel_2の独立変数zに関する導関数を知っています。
例はhankel_1を参照してください。
デフォルト値: false
次数が半奇数の時のベッセル関数の展開を制御します。
この場合、ベッセル関数は他の初等関数で展開することができます。
besselexpandがtrueの時、
ベッセル関数は展開されます。
(%i1) besselexpand: false$
(%i2) bessel_j (3/2, z);
3
(%o2) bessel_j(-, z)
2
(%i3) besselexpand: true$
(%i4) bessel_j (3/2, z);
sin(z) cos(z)
sqrt(2) sqrt(z) (------ - ------)
2 z
z
(%o4) ---------------------------------
sqrt(%pi)
次数v、独立変数zのスケールされた第一種変形ベッセル関数。
すなわち、scaled_bessel_i(v,z) = exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)。
この関数は、大きなzに関するbessel_i―これはおおきくなりますーの計算に
特に役に立ちます。
しかしながら、そうでなければ、Maximaはこの関数についてあまり知りません。
数式処理のためには、式exp(-abs(z))*bessel_i(v, z)を使って取り組むのが多分望ましいです。
scaled_bessel_i(0,z)と同一です。
scaled_bessel_i(1,z)と同一です。
Lommelの小s[u,v](z)関数。 多分Gradshteyn & Ryzhik 8.570.1.
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