Maxima branch_5_47_base_7_g39559bd_dirty Manual: Introduction to contrib

Maximaの常微分方程式(ODE)ソルバode2は一階と二階の初等線形ODEを解きます。関数contrib_odeは線形と非線形一階ODEと線形斉次二階ODEに関する追加の方法で ode2を拡張します。コードは、まだ開発中で、コールの順序は将来のリリースで変わるかもしれません。一旦コードが安定化したら、投稿ディレクトリから移して、Maximaに統合されるかもしれません。

このパッケージは、使用前にコマンドload("contrib_ode")でロードしなければいけません。

contrib_odeのコール取り決めは ode2と同一です。３つの引数を取ります: ODE (右辺が0なら左辺だけでもいいです)、従属変数、独立変数。成功した時、解のリストを返します。

解の形式は ode2と異なります。非線形方程式は複数解を持つので、 contrib_odeは解のリストを返します。解それぞれは複数の形式を持ちます:

%cは一階方程式の積分定数を表すのに使われます。 %k1と%k2は二階方程式の定数を表すのに使われます。もしcontrib_odeがいかなる理由でも解を得られないなら、たぶんエラーメッセージを印字した後、 falseを返します。

一階非線形ODEは複数解を持ち得るので、解のリストを返す必要があります。例えば:

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:x*'diff(y,x)^2-(1+x*y)*'diff(y,x)+y=0;

                    dy 2             dy
(%o2)            x (--)  - (x y + 1) -- + y = 0
                    dx               dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

                                             x
(%o3)             [y = log(x) + %c, y = %c %e ]
(%i4) method;

(%o4)                        factor

以下の例の二番目の解のように、非線形ODEは積分定数を持たない特異解を持ち得ます:

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:'diff(y,x)^2+x*'diff(y,x)-y=0;

                       dy 2     dy
(%o2)                 (--)  + x -- - y = 0
                       dx       dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

                                           2
                                 2        x
(%o3)              [y = %c x + %c , y = - --]
                                          4
(%i4) method;

(%o4)                       clairault

以下のODEはダミー変数%tを使った２つのパラメトリック解を持ちます。この場合、パラメトリック解を操作して、陽解を与えることができます。

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:'diff(y,x)=(x+y)^2;

                          dy          2
(%o2)                     -- = (y + x)
                          dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

(%o3) [[x = %c - atan(sqrt(%t)), y = - x - sqrt(%t)], 
                     [x = atan(sqrt(%t)) + %c, y = sqrt(%t) - x]]
(%i4) method;

(%o4)                       lagrange

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) assume(x>0,y>0);

(%o2)                    [x > 0, y > 0]
(%i3) eqn:x*'diff(y,x)-x*sqrt(y^2+x^2)-y;

                     dy           2    2
(%o3)              x -- - x sqrt(y  + x ) - y
                     dx
(%i4) contrib_ode(eqn,y,x);

                                  y
(%o4)                  [x - asinh(-) = %c]
                                  x
(%i5) method;

(%o5)                          lie

以下のRiccati方程式は変数%uに関する線形二階ODEに変換されます。 Maximaは新しいODEを解くことができません。だから、未評価で返されます。

(%i1) load("contrib_ode")$

(%i2) eqn:x^2*'diff(y,x)=a+b*x^n+c*x^2*y^2;

                    2 dy      2  2      n
(%o2)              x  -- = c x  y  + b x  + a
                      dx
(%i3) contrib_ode(eqn,y,x);

               d%u
               ---                            2
               dx        2     n - 2   a     d %u
(%o3)  [[y = - ----, %u c  (b x      + --) + ---- c = 0]]
               %u c                     2      2
                                       x     dx
(%i4) method;

(%o4)                        riccati

一階ODEに対して、contrib_odeはode2をコールします。その後、以下の方法を試します: 因数分解、Clairault, Lagrange, Riccati, Abel, Lie対称性を使った方法もしAbel方法が失敗したら、 Lie方法はAbel方程式には試みられませんが、もしRiccati方法が未解決二階ODEを返したら、 Lie方法が試みられます。

二階ODEに対して、contrib_odeはode2をコールし、その後odelinをコールします。

もしコマンド put('contrib_ode,true,'verbose)が実行されたら、長いデバッグトレースとメッセージが表示されます。

44.1 Introduction to contrib_ode