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デフォルト値: false
上限としてinfを持つ和同士を掛ける時、
もしsumexpandがtrue、かつ、cauchysumがtrueなら、
通常の積ではなくCauchy積が使われます。
Cauchy積では、
内側の和のインデックスは、独立に変化するのではなく、外側のインデックスの関数です。
例:
(%i1) sumexpand: false$
(%i2) cauchysum: false$
(%i3) s: sum (f(i), i, 0, inf) * sum (g(j), j, 0, inf);
inf inf
==== ====
\ \
(%o3) ( > f(i)) > g(j)
/ /
==== ====
i = 0 j = 0
(%i4) sumexpand: true$
(%i5) cauchysum: true$
(%i6) ''s;
inf i1
==== ====
\ \
(%o6) > > g(i1 - i2) f(i2)
/ /
==== ====
i1 = 0 i2 = 0
deftaylorは、
ある変数x_iの関数f_iそれぞれに関して、
expr_iをゼロの回りのTaylor級数と定義します。
expr_iは、典型的には、x_iの多項式か和です;
deftaylorは、もっと一般的な式も問題なく受け付けます。
powerseries (f_i(x_i), x_i, 0)は、
deftaylorで定義された級数を返します。
deftaylorは、
関数f_1, ..., f_nのリストを返します。
deftaylorは、引数を評価します。
例:
(%i1) deftaylor (f(x), x^2 + sum(x^i/(2^i*i!^2), i, 4, inf));
(%o1) [f]
(%i2) powerseries (f(x), x, 0);
inf
==== i1
\ x 2
(%o2) > -------- + x
/ i1 2
==== 2 i1!
i1 = 4
(%i3) taylor (exp (sqrt (f(x))), x, 0, 4);
2 3 4
x 3073 x 12817 x
(%o3)/T/ 1 + x + -- + ------- + -------- + . . .
2 18432 307200
デフォルト値: true
maxtayorderがtrueの時、
(切り詰められた)Taylor級数の代数操作の間、
taylorは、厳密とわかっているできるだけ多くの項を保とうとします。
exprの中の和や積のインデックスを改名します。
niceindicesは、
その名前が被加数や非積数の中に現れないなら、
インデックスそれぞれをniceindicespref[1]の値に改名しようとします。
現れた場合、
niceindicesは、
未使用の変数が見つかるまでniceindicesprefの次の要素を順に試します。
もしリスト全部が使い果たされたら、
例えば, i0, i1, i2, ....というように、
niceindicespref[1]の値に整数を追加することで、
追加のインデックスが構成されます。
niceindicesは式を返します。
niceindicesは引数を評価します。
例:
(%i1) niceindicespref;
(%o1) [i, j, k, l, m, n]
(%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
! ! /
bar = 1 ====
foo = 1
(%i3) niceindices (%);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o3) ! ! > f(i j l + k)
! ! /
l = 1 ====
k = 1
デフォルト値: [i, j, k, l, m, n]
niceindicesprefは、
niceindicesが和や積のインデックスの名前を取ってくる
リストです。
The elements of
niceindicesprefの要素は、
niceindicesによって強制されませんが、
通常、変数名です。
例:
(%i1) niceindicespref: [p, q, r, s, t, u]$
(%i2) product (sum (f (foo + i*j*bar), foo, 1, inf), bar, 1, inf);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o2) ! ! > f(bar i j + foo)
! ! /
bar = 1 ====
foo = 1
(%i3) niceindices (%);
inf inf
/===\ ====
! ! \
(%o3) ! ! > f(i j q + p)
! ! /
q = 1 ====
p = 1
R.W. Gosperによる決定手続きを使って、 xに関するexprの不定超幾何総和を実行します。 exprと結果は、 整数べき、階乗、二項式、有理関数の積として表現可能でなければいけません。
用語「定」と「不定和」は、
「定」と「不定積分」へ類似して使われています。
不定に和を取ることは、
ただ、例えば0からinfまででなく、
変数の長さの区間上の和に関して、シンボリックな結果を与えることを意味します。
例えば、二項級数の一般的な部分和に関する公式はないので、
nusumはそれができません。
nusumとunsumは、有限積の和と差について少し知っています。
unsumも参照してください。
例:
(%i1) nusum (n*n!, n, 0, n);
Dependent equations eliminated: (1)
(%o1) (n + 1)! - 1
(%i2) nusum (n^4*4^n/binomial(2*n,n), n, 0, n);
4 3 2 n
2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
(%o2) ------------------------------------------------ - ------
693 binomial(2 n, n) 3 11 7
(%i3) unsum (%, n);
4 n
n 4
(%o3) ----------------
binomial(2 n, n)
(%i4) unsum (prod (i^2, i, 1, n), n);
n - 1
/===\
! ! 2
(%o4) ( ! ! i ) (n - 1) (n + 1)
! !
i = 1
(%i5) nusum (%, n, 1, n);
Dependent equations eliminated: (2 3)
n
/===\
! ! 2
(%o5) ! ! i - 1
! !
i = 1
分子と分母の次数の和がべき級数の切り詰めレベル以下の 与えられたTaylor級数展開、すなわち、「最良」近似を持ち 加えて指定された次数範囲を満たす、有理関数すべてのリストを返します。
taylor_seriesは１変数Taylor級数です。 numer_deg_boundとdenom_deg_boundは、 分子と分母上の次数範囲を指定する 正の整数です。
taylor_seriesは
Laurent級数も可能です。
次数範囲は、infも可能で、
総次数が、冪級数の長さ以下の有理関数すべてを返すことになります。
総次数は
numer_deg_bound + denom_deg_boundとして定義されます。
べき級数の長さは
"truncation level" + 1 - min(0, "order of series")として定義されます。
(%i1) taylor (1 + x + x^2 + x^3, x, 0, 3);
2 3
(%o1)/T/ 1 + x + x + x + . . .
(%i2) pade (%, 1, 1);
1
(%o2) [- -----]
x - 1
(%i3) t: taylor(-(83787*x^10 - 45552*x^9 - 187296*x^8
+ 387072*x^7 + 86016*x^6 - 1507328*x^5
+ 1966080*x^4 + 4194304*x^3 - 25165824*x^2
+ 67108864*x - 134217728)
/134217728, x, 0, 10);
2 3 4 5 6 7
x 3 x x 15 x 23 x 21 x 189 x
(%o3)/T/ 1 - - + ---- - -- - ----- + ----- - ----- - ------
2 16 32 1024 2048 32768 65536
8 9 10
5853 x 2847 x 83787 x
+ ------- + ------- - --------- + . . .
4194304 8388608 134217728
(%i4) pade (t, 4, 4);
(%o4) []
このべき級数展開を持つ次数4の 分子/分母の有理関数はありません。 一般的に、 解くのに十分な数の未知の係数を持つために、 その和が少なくともべき級数の次数になるまで 分子の次数と分母の次数を増やさなければいけません。
(%i5) pade (t, 5, 5);
5 4 3
(%o5) [- (520256329 x - 96719020632 x - 489651410240 x
2
- 1619100813312 x - 2176885157888 x - 2386516803584)
5 4 3
/(47041365435 x + 381702613848 x + 1360678489152 x
2
+ 2856700692480 x + 3370143559680 x + 2386516803584)]
変数xに関する点a
(無限大のためにはinfかもしれません)
の回りのexprのべき級数展開の一般形式を返します:
inf
====
\ n
> b (x - a)
/ n
====
n = 0
もしpowerseriesがexprを展開することができないなら、
taylorが、級数の最初のいくつかの項を与えることができます。
verboseがtrueの時、
powerseriesは進捗メッセージを印字します。
(%i1) verbose: true$
(%i2) powerseries (log(sin(x)/x), x, 0);
can't expand
log(sin(x))
so we'll try again after applying the rule:
d
/ -- (sin(x))
[ dx
log(sin(x)) = i ----------- dx
] sin(x)
/
in the first simplification we have returned:
/
[
i cot(x) dx - log(x)
]
/
inf
==== i1 2 i1 2 i1
\ (- 1) 2 bern(2 i1) x
> ------------------------------
/ i1 (2 i1)!
====
i1 = 1
(%o2) -------------------------------------
2
デフォルト値: false
psexpandがtrueの時、
拡張有理関数展開が完全に展開されて表示されます。
スイッチratexpandは同じ効果を持ちます。
psexpandがfalseの時、
多変数式がちょうど有理関数パッケージにあるかのように表示されます。
psexpandがmultiの時、
変数に関する同じ総次数の項は一緒にまとめられます。
これらの関数は、
変数xに関するゼロの回りのTaylor級数exprの反転を返します。
revertは、
exprの最高次数と等しい次数の多項式を返します。
revert2は、次数nの多項式を返します。
nは、exprの次数よりも大きい値も小さい値も同じ値も取り得ます。
load ("revert")はこれらの関数をロードします。
例:
(%i1) load ("revert")$
(%i2) t: taylor (exp(x) - 1, x, 0, 6);
2 3 4 5 6
x x x x x
(%o2)/T/ x + -- + -- + -- + --- + --- + . . .
2 6 24 120 720
(%i3) revert (t, x);
6 5 4 3 2
10 x - 12 x + 15 x - 20 x + 30 x - 60 x
(%o3)/R/ - --------------------------------------------
60
(%i4) ratexpand (%);
6 5 4 3 2
x x x x x
(%o4) - -- + -- - -- + -- - -- + x
6 5 4 3 2
(%i5) taylor (log(x+1), x, 0, 6);
2 3 4 5 6
x x x x x
(%o5)/T/ x - -- + -- - -- + -- - -- + . . .
2 3 4 5 6
(%i6) ratsimp (revert (t, x) - taylor (log(x+1), x, 0, 6));
(%o6) 0
(%i7) revert2 (t, x, 4);
4 3 2
x x x
(%o7) - -- + -- - -- + x
4 3 2
taylor (expr, x, a, n)は、
式exprを、変数xのaの周りのTaylorもしくはLaurent級数を
(x - a)^nまで展開します。
もしexprが形式f(x)/g(x) の形であり、
g(x)がn次まで項を持たないなら、
taylorはg(x)を2 n次まで展開しようとします。
もしまだ0でない項がないなら、
taylorは、展開の次数がn 2^taylordepth以下である限り
g(x)の展開の次数を倍にしていきます。
taylor (expr, [x_1, x_2, ...], a, n)
は、すべての変数x_1, x_2, ...について
点(a, a, , ...)の周りでn次までのべき級数を返します。
taylor (expr, [x_1, a_1, n_1], [x_2, a_2, n_2], ...)は、変数x_1, x_2, ...について
点(a_1, a_2, ...)の回りで
n_1次, n_2次, ....まで展開したべき級数を返します。
taylor (expr, [x_1, x_2, ...], [a_1, a_2, ...], [n_1, n_2, ...])は、
変数x_1, x_2, ...について、
点(a_1, a_2, ...)の回りで
n_1次, n_2次, ....まで展開したべき級数を返します。
taylor (expr, [x, a, n, 'asymp])は、
exprのx - aの負のべき乗展開を返します。
最高次の項は(x - a)^-nです。
maxtaylorderがtrueの時、
（丸められた）Taylor級数の代数操作の間、
talyorは正確とわかっている限り多くの項を保とうとします。
psexpandがtrueの時、
拡張有理関数式は、フルに展開されて表示されます。
スイッチratexpandは同じ効果を持ちます。
psexpandがfalseの時、
有理関数パッケージかのように多変数式が表示されます。
psexpandがmultiなら、同じ総次数の項が一緒にグループ化されます。
展開を制御するには、taylor_logexpandスイッチも参照してください。
例:
(%i1) taylor (sqrt (sin(x) + a*x + 1), x, 0, 3);
2 2
(a + 1) x (a + 2 a + 1) x
(%o1)/T/ 1 + --------- - -----------------
2 8
3 2 3
(3 a + 9 a + 9 a - 1) x
+ -------------------------- + . . .
48
(%i2) %^2;
3
x
(%o2)/T/ 1 + (a + 1) x - -- + . . .
6
(%i3) taylor (sqrt (x + 1), x, 0, 5);
2 3 4 5
x x x 5 x 7 x
(%o3)/T/ 1 + - - -- + -- - ---- + ---- + . . .
2 8 16 128 256
(%i4) %^2;
(%o4)/T/ 1 + x + . . .
(%i5) product ((1 + x^i)^2.5, i, 1, inf)/(1 + x^2);
inf
/===\
! ! i 2.5
! ! (x + 1)
! !
i = 1
(%o5) -----------------
2
x + 1
(%i6) ev (taylor(%, x, 0, 3), keepfloat);
2 3
(%o6)/T/ 1 + 2.5 x + 3.375 x + 6.5625 x + . . .
(%i7) taylor (1/log (x + 1), x, 0, 3);
2 3
1 1 x x 19 x
(%o7)/T/ - + - - -- + -- - ----- + . . .
x 2 12 24 720
(%i8) taylor (cos(x) - sec(x), x, 0, 5);
4
2 x
(%o8)/T/ - x - -- + . . .
6
(%i9) taylor ((cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
(%o9)/T/ 0 + . . .
(%i10) taylor (1/(cos(x) - sec(x))^3, x, 0, 5);
2 4
1 1 11 347 6767 x 15377 x
(%o10)/T/ - -- + ---- + ------ - ----- - ------- - --------
6 4 2 15120 604800 7983360
x 2 x 120 x
+ . . .
(%i11) taylor (sqrt (1 - k^2*sin(x)^2), x, 0, 6);
2 2 4 2 4
k x (3 k - 4 k ) x
(%o11)/T/ 1 - ----- - ----------------
2 24
6 4 2 6
(45 k - 60 k + 16 k ) x
- -------------------------- + . . .
720
(%i12) taylor ((x + 1)^n, x, 0, 4);
2 2 3 2 3
(n - n) x (n - 3 n + 2 n) x
(%o12)/T/ 1 + n x + ----------- + --------------------
2 6
4 3 2 4
(n - 6 n + 11 n - 6 n) x
+ ---------------------------- + . . .
24
(%i13) taylor (sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
3 2
y y
(%o13)/T/ y - -- + . . . + (1 - -- + . . .) x
6 2
3 2
y y 2 1 y 3
+ (- - + -- + . . .) x + (- - + -- + . . .) x + . . .
2 12 6 12
(%i14) taylor (sin (y + x), [x, y], 0, 3);
3 2 2 3
x + 3 y x + 3 y x + y
(%o14)/T/ y + x - ------------------------- + . . .
6
(%i15) taylor (1/sin (y + x), x, 0, 3, y, 0, 3);
1 y 1 1 1 2
(%o15)/T/ - + - + . . . + (- -- + - + . . .) x + (-- + . . .) x
y 6 2 6 3
y y
1 3
+ (- -- + . . .) x + . . .
4
y
(%i16) taylor (1/sin (y + x), [x, y], 0, 3);
3 2 2 3
1 x + y 7 x + 21 y x + 21 y x + 7 y
(%o16)/T/ ----- + ----- + ------------------------------- + . . .
x + y 6 360
デフォルト値: 3
もしまだ非ゼロ項がないなら、
展開の次数がn 2^taylordepth以下である限り、
taylorは、
g(x)の展開の次数を倍にします。
Taylor級数exprについての情報を返します。 戻り値はリストのリストです。 リストそれぞれは、変数名、展開点、展開次数から成ります。
もしexprがTaylor級数でないなら、
taylorinfoはfalseを返します。
例:
(%i1) taylor ((1 - y^2)/(1 - x), x, 0, 3, [y, a, inf]);
2 2
(%o1)/T/ - (y - a) - 2 a (y - a) + (1 - a )
2 2
+ (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
2 2 2
+ (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x
2 2 3
+ (1 - a - 2 a (y - a) - (y - a) ) x + . . .
(%i2) taylorinfo(%);
(%o2) [[y, a, inf], [x, 0, 3]]
もしexprがTaylor級数なら、trueを、
そうでないなら、falseを返します。
デフォルト値: true
taylor_logexpandは、
taylor級数の中の対数の展開を制御します。
taylor_logexpandがtrueの時、
対数すべては完全に展開されるので、対数的恒等式を含むゼロ認識問題は
展開プロセスを邪魔しません。
しかしながら、分岐情報を無視するので、この方法はいつも数学的にただしいわけではありません。
taylor_logexpandがfalseに設定されている時、
生じる対数の唯一の展開は、
形式的なべき級数を得るのに必要なものです。
デフォルト値: true
taylor_order_coefficientsは、
Taylor級数の中の係数の順序付けを制御します。
taylor_order_coefficientsがtrueの時、
Taylor級数の係数は標準に順序付けられます。
べき級数exprの係数を整理します。
taylorはこの関数をコールします。
デフォルト値: true
taylor_truncate_polynomialsがtrueの時、
多項式は入力切り詰めレベルを基礎に切り詰められます。
そうでないなら、
taylorへの多項式入力は、
不定の精度を持つと考えられます。
taylor形式から標準有理式(CRE)形式に
exprを変換します。
効果はrat (ratdisrep (expr))と同じですが、より速いです。
一般式exprの内部表現をアノテートするので、まるでその和が切り詰められたTaylor級数かのように表示されます。 exprは別に変更されません。
例:
(%i1) expr: x^2 + x + 1;
2
(%o1) x + x + 1
(%i2) trunc (expr);
2
(%o2) 1 + x + x + . . .
(%i3) is (expr = trunc (expr));
(%o3) true
最初の後方差f(n) - f(n - 1)を返します。
従って、
unsumは、ある意味、sumの逆です。
nusumも参照してください。
例:
(%i1) g(p) := p*4^n/binomial(2*n,n);
n
p 4
(%o1) g(p) := ----------------
binomial(2 n, n)
(%i2) g(n^4);
4 n
n 4
(%o2) ----------------
binomial(2 n, n)
(%i3) nusum (%, n, 0, n);
4 3 2 n
2 (n + 1) (63 n + 112 n + 18 n - 22 n + 3) 4 2
(%o3) ------------------------------------------------ - ------
693 binomial(2 n, n) 3 11 7
(%i4) unsum (%, n);
4 n
n 4
(%o4) ----------------
binomial(2 n, n)
デフォルト値: false
verboseがtrueの時、
powerseriesは進捗メッセージを印字します。
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