Previous: Дифференциальные уравнения в Maxima, Up: Дифференциальные уравнения [Contents][Index]
Решает краевую задачу для дифференциального уравнения второго порядка.
Здесь solution - общее решение уравнения, полученное ode2; xval1
задает значение независимой переменной в начальной точке в виде
x = x1 и yval1 задает значение зависимой переменной
в этой точке в виде y = y1. Выражения xval2 и yval2
определяют значения для этих переменных во второй точке, используя ту же запись.
Пример использования см. в ode2.
Функция desolve решает линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений
при помощи преобразования Лапласа. Здесь eqn - дифференциальные уравнения со
связанными переменными x_1, ..., x_n. Функциональная зависимость между
x_1, ..., x_n или от независимой переменной, например, x,
должна явно задаваться в переменных и их производных. Например, следующее определение
двух уравнений неверно:
eqn_1: 'diff(f,x,2) = sin(x) + 'diff(g,x); eqn_2: 'diff(f,x) + x^2 - f = 2*'diff(g,x,2);
Правильная запись -
eqn_1: 'diff(f(x),x,2) = sin(x) + 'diff(g(x),x); eqn_2: 'diff(f(x),x) + x^2 - f(x) = 2*'diff(g(x),x,2);
Тогда вызов функции desolve будет иметь вид
desolve([eqn_1, eqn_2], [f(x),g(x)]);
Если известны начальные условия в x=0, то при помощи atvalue их можно
дополнительно определить до вызова desolve.
(%i1) 'diff(f(x),x)='diff(g(x),x)+sin(x);
d d
(%o1) -- (f(x)) = -- (g(x)) + sin(x)
dx dx
(%i2) 'diff(g(x),x,2)='diff(f(x),x)-cos(x);
2
d d
(%o2) --- (g(x)) = -- (f(x)) - cos(x)
2 dx
dx
(%i3) atvalue('diff(g(x),x),x=0,a);
(%o3) a
(%i4) atvalue(f(x),x=0,1);
(%o4) 1
(%i5) desolve([%o1,%o2],[f(x),g(x)]);
x
(%o5) [f(x) = a %e - a + 1, g(x) =
x
cos(x) + a %e - a + g(0) - 1]
(%i6) [%o1,%o2],%o5,diff;
x x x x
(%o6) [a %e = a %e , a %e - cos(x) = a %e - cos(x)]
Если desolve не может получить решение, возвращается false.
Решает задачи с начальными условиями для дифференциальных уравнений
первого порядка. Здесь solution - общее решение уравнения, полученное
ode2; xval задает начальное значение независимой переменной
в виде x = x0, и yval задает начальное значение зависимой
переменной в виде y = y0.
Пример использования см. в ode2.
Решает задачи с начальными условиями для дифференциальных уравнений
второго порядка. Здесь solution - общее решение уравнения, полученное
ode2; xval задает начальное значение независимой переменной
в виде x = x0, yval задает начальное значение зависимой
переменной в виде y = y0, и dval задает начальное значение
для первой производной зависимой переменной по независимой в виде
diff(y,x) = dy0 (перед diff не нужно ставить кавычку).
Пример использования см. в ode2.
Функция ode2 решает обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)
первого или второго порядка. Она принимает три аргумента: ОДУ eqn,
зависимую переменную dvar и независимую переменную ivar.
При удачном результате возвращается явное или неявное решение относительно
зависимой переменной. %c используется для представления константы
интегрирования в случае уравнений первого порядка; %k1 и %k2 -
константы в решениях уравнений второго порядка. Зависимость зависимой
переменной от независимой не требуется указывать явно, как в случае с
desolve, но независимая переменная должна всегда указываться в
качестве третьего аргумента.
Если по каким-то причинам ode2 не может получить решение, возвращается
false, и, возможно, печатается сообщение об ошибке. Методы
решения уравнений первого порядка (в том порядке, в каком Maxima пытается
их применять): линейный, разделение переменных, явный - возможно, используется
интегрирующий множитель, однородное уравнение, уравнение Бернулли и обобщенный
однородный метод.
Типы решаемых уравнений второго порядка: уравнение с постоянными коэффициентами, явное, линейное однородное с непостоянными коэффициентами, преобразующимися к постоянным, уравнение Эйлера (или равноразмерное), уравнения, решаемые методом вариации переменных, а также уравнения без независимой или зависимой переменной, сводимые для последующего решения к линейным уравнениям первого порядка.
В ходе решения ОДУ чисто для справки устанавливается несколько переменных:
method указывает на использованный метод решения (например, linear),
intfactor - использованный интегрирующий множитель, odeindex -
коэффициент, примененный в методе Бернулли или обобщенном однородном методе, а
yp - частное решение для метода вариации переменных.
Для решения задач с начальными условиями для уравнений первого и второго
порядка доступны функции ic1 и ic2, а для решения краевых задач
может использоваться функция bc2.
Пример:
(%i1) x^2*'diff(y,x) + 3*y*x = sin(x)/x;
2 dy sin(x)
(%o1) x -- + 3 x y = ------
dx x
(%i2) ode2(%,y,x);
%c - cos(x)
(%o2) y = -----------
3
x
(%i3) ic1(%o2,x=%pi,y=0);
cos(x) + 1
(%o3) y = - ----------
3
x
(%i4) 'diff(y,x,2) + y*'diff(y,x)^3 = 0;
2
d y dy 3
(%o4) --- + y (--) = 0
2 dx
dx
(%i5) ode2(%,y,x);
3
y + 6 %k1 y
(%o5) ------------ = x + %k2
6
(%i6) ratsimp(ic2(%o5,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
3
2 y - 3 y
(%o6) - ---------- = x
6
(%i7) bc2(%o5,x=0,y=1,x=1,y=3);
3
y - 10 y 3
(%o7) --------- = x - -
6 2
Previous: Дифференциальные уравнения в Maxima, Up: Дифференциальные уравнения [Contents][Index]