27.2 Функции и переменные пакета atensor

Функция: init_atensor (alg_type, opt_dims)

Функция: init_atensor (alg_type)

Инициализирует пакет atensor с указанием типа алгебры. Здесь alg_type может принимать одно из следующих значений:

universal: Универсальная алгебра без определенных правил коммутации.

grassmann: Алгебра Грассмана, определяемая коммутационным правилом u.v+v.u=0.

clifford: Алгебра Клиффорда, определяемая коммутационным правилом u.v+v.u=-2*sf(u,v), где sf есть симметричная скалярная функция. Для этой алгебры opt_dims может задавать до 3-х неотрицательных целых чисел, которые представляют собой число положительных, вырожденных и отрицательных размерностей алгебры. Если opt_dims задано, то atensor автоматически сконфигурирует значения adim и aform. В противном случае adim принимает значение 0 а aform остается неопределенным.

symmetric: Симметричная алгебра, определяемая коммутационным правилом u.v-v.u=0.

symplectic: Симплектическая алгебра, определяемая коммутационным правилом u.v-v.u=2*af(u,v), гда af есть антисимметричная скалярная функция. Для симплектической алгебры opt_dims может задавать до двух неотрицательных целых чисел, представляющих число невырожденных и вырожденных измерений соответственно. Если opt_dims задано, то atensor автоматически сконфигурирует значения adim и aform. В противном случае adim принимает значение 0 а aform остается неопределенным.

lie_envelop: Обертывающая алгебра Ли, определяемая коммутационным правилом u.v-v.u=2*av(u,v), где av есть антисимметричная функция.

init_atensor также распознает несколько предопределенных типов алгебр:

complex реализует алгебру комплексных чисел, как алгебру Клиффорда Cl(0,1). Вызов init_atensor(complex) эквивалентен init_atensor(clifford,0,0,1).

quaternion реализует алгебру кватернионов. Вызов init_atensor(quaternion) эквивалентен init_atensor(clifford,0,0,2).

pauli реализует алгебру спиноров Паули как алгебру Клиффорда Cl(3,0). Вызов init_atensor(pauli) эквивалентен init_atensor(clifford,3).

dirac реализует алгебру спиноров Дирака как алгебру Клиффорда Cl(3,1). Вызов init_atensor(dirac) эквивалентен init_atensor(clifford,3,0,1).

Функция: atensimp (expr)

Упрощает алгебраическое выражение expr в соответствии с правилами, определенными при вызове init_atensor. Упрощение сводится к рекурсивному применению коммутационных правил м вычислению, где возможно, значений sf, af и av. При этом применяются предосторожности, обеспечивающие то, что процесс упрощения завершится.

Функция: alg_type

Тип алгебры. Допустимые значения: universal, grassmann, clifford, symmetric, symplectic или lie_envelop.

Переменная: adim

Значение по умолчанию: 0

Размерность алгебры. atensor использует adim для того чтобы определить является ли индексированный объект допустимым базисным вектором. См. abasep.

Переменная: aform

Значение по умолчанию: ident(3)

Значение билинейных форм sf, af или av. Значение по умолчанию – единичная 3х3 матрица ident(3).

Переменная: asymbol

Значение по умолчанию: v

Символ, используемый для обозначения базисного вектора.

Функция: sf (u, v)

Симметричная скалярная функция, используемая в коммутационных правилах. По умолчанию с помощью abasep проверяется, что оба аргумента функции являются базисными векторами, и если это так, подставляется соответствующее значение из матрицы aform.

Функция: af (u, v)

Антисимметричная скалярная функция, используемая в коммутационных правилах. По умолчанию с помощью abasep проверяется, что оба аргумента функции являются базисными векторами, и если это так, подставляется соответствующее значение из матрицы aform.

Функция: av (u, v)

Антисимметричная скалярная функция, используемая в коммутационных правилах. По умолчанию с помощью abasep проверяется, что оба аргумента функции являются базисными векторами, и если это так, подставляется соответствующее значение из матрицы aform.

Например:

(%i1) load("atensor");
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) adim:3;
(%o2)                                  3
(%i3) aform:matrix([0,3,-2],[-3,0,1],[2,-1,0]);
                               [  0    3   - 2 ]
                               [               ]
(%o3)                          [ - 3   0    1  ]
                               [               ]
                               [  2   - 1   0  ]
(%i4) asymbol:x;
(%o4)                                  x
(%i5) av(x[1],x[2]);
(%o5)                                 x
                                       3

Функция: abasep (v)

Проверяет является ли аргумент базисным вектором для atensor. Т.е. проверяет, что: это индексированная переменная, символ этой переменной совпадает с значением asymbol, индекс имеет числовое значение в пределах от 1 до adim.