19.3 Introduction to QUADPACK

QUADPACKは、１次元定積分の数値計算のための関数のコレクションです。 R. Piessens ¹, E. de Doncker ², C. Ueberhuber ³, D. Kahaner ⁴. の合同プロジェクトから始まりました。

Maximaに含まれるQUADPACKライブラリは、 SLATEC共通数学ライブラリ バージョン4.1⁵ に現れる QUADPACKのFortranのソースコードの (プログラムf2clによる)自動翻訳です。

SLATECライブラリは1993年7月付ですが、QUADPACK関数は何年か前に書かれました。 QUADPACKももう１つのバージョンが Netlib ⁶に あります; このバージョンがSLATECバージョンとどう違うのかはっきりしません。

Maximaに含まれるQUADPACK関数は、 これらの関数が、不特定の回数の関数の評価を要求し、 指定された精度まで結果を計算しようとする意味で、 すべて自動的です。 Maximaの、QUADPACKのLisp翻訳は、いくつかの自動的でない関数も含みますが、 それらは、Maximaレベルで公開されていません。

QUADPACKについての更なる情報は、 QUADPACK本 ⁷ の中に見つけることができます。

19.3.1 Overview

quad_qag

一般関数の有限の区間上の積分。 quad_qagは、Aind(Piessens, 1973)の戦略を使った 簡単な大域的適応積分器を実装しています。 呼び出し側は、ルール評価コンポーネントのための ガウスークロンロッドの求積公式の6つのペアの中から選ぶことができます。 強く振動する非積分関数には高次のルールが適切です。

quad_qags

一般関数の有限の区間上の積分。 quad_qagsは、イプシロンアルゴリズム(Wynn, 1956)による外挿(de Doncker,1978)を 使った大域的適応積分器を実装しています。

quad_qagi

一般関数の無限のもしくは半無限の区間上の積分。 区間は、有限の区間上に写像され、quad_qagsの中で使われるのと同じ戦略が適用されます。

quad_qawo

cos(omega x) f(x) や sin(omega x) f(x) の有限の区間上の積分。 ここで、 omega は定数です。 規則評価構成要素は、変形Clenshaw-Curtis手法に基づいています。 quad_qawoは、 quad_qagsに似て、外挿とともに適応再分割を適用します。

quad_qawf

フーリエコサイン変換またはフーリエサイン変換を半無限区間上で計算します。 quad_qawoで使われるのと同じアプローチが、連続する区間に適用され、 イプシロンアルゴリズム(Wynn, 1956)を使った収束の促進が積分寄与の級数に適用されます。

quad_qaws

w(x) f(x) の有限区間 [a, b] 上の積分。 ここで、 w は形式 (x - a)^alpha (b - x)^beta v(x) の関数で、 v(x) は、 1, log(x - a), log(b - x), log(x - a) log(b - x) のいずれかであり、 alpha > -1 かつ beta > -1 です。

大域的適応再分割戦略が適用され、 aまたはbを含む部分区間上では、 変形Clenshaw-Curtis積分を使います。

quad_qawc

f(x)/(x - c)のコーシーの主値を 有限の区間(a, b)上で指定されたcを用いて 計算します。 戦略は、大域的適応的で、 点x = cを含む部分範囲上で変形Clenshaw-Curtis積分が使われます。