15.8 Hypergeometric Functions

超幾何関数はAbramowitz and Stegun, Handbook of Mathematical Functions, 13章15章で定義されています。

Maximaは、これらの関数の非常に限られた知識を持っています。 それらは、関数hgfredから返されることができます。

関数: %m [k,u] (z)

Whittaker M関数 M[k,u](z) = exp(-z/2)*z^(1/2+u)*M(1/2+u-k,1+2*u,z). (A&S 13.1.32)

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関数: %w [k,u] (z)

Whittaker W関数 (A&S 13.1.33)

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関数: %f [p,q] ([a],[b],z)

pFq(a1,a2,..ap;b1,b2,..bq;z)超幾何関数。 ここで、aは長さpのリストで、 bは長さqのリストです。

Bessel functions ·Special functions ·

関数: hypergeometric ([a1, ..., ap],[b1, ... ,bq], x)

超幾何関数。 Maximaの%f超幾何関数と違って， 関数hypergeometricは整理関数です; hypergeometricは複素倍精度と多倍長浮動小数点評価もサポートします。 ガウスの超幾何関数、すなわち、p = 2かつq = 1、 に関しては、 単位円の外側の浮動小数点評価はサポートされていますが、 一般にはサポートされていません。

オプション変数expand_hypergeometricがtrue(デフォルトはfalse)で、 独立変数a1からapの１つが負の整数の時(多項式の場合)、 hypergeometricは展開された多項式を返します。

例:

(%i1)  hypergeometric([],[],x);
(%o1) %e^x

expand_hypergeometricがtrueの時、多項式の場合は自動的に展開されます:

(%i2) hypergeometric([-3],[7],x);
(%o2) hypergeometric([-3],[7],x)

(%i3) hypergeometric([-3],[7],x), expand_hypergeometric : true;
(%o3) -x^3/504+3*x^2/56-3*x/7+1

倍精度と多倍長浮動小数点評価の両方がサポートされています:

(%i4) hypergeometric([5.1],[7.1 + %i],0.42);
(%o4)       1.346250786375334 - 0.0559061414208204 %i
(%i5) hypergeometric([5,6],[8], 5.7 - %i);
(%o5)     .00737582400977495 - 0.001049813688578674 %i
(%i6) hypergeometric([5,6],[8], 5.7b0 - %i), fpprec : 30;
(%o6) 7.37582400977494674506442010824b-3
                          - 1.04981368857867315858055393376b-3 %i