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デフォルト値: true
%piargsがtrueの時で、
引数が
%pi, %pi/2, %pi/3, %pi/4, %pi/6のいずれか
の整数倍の時は、
三角関数は、代数定数に整理されます。
Maximaは、 %pi などが、整数変数（すなわち、整数に宣言されたシンボル）倍された時適用できる いくつかの恒等式を知っています。
例:
(%i1) %piargs : false$
(%i2) [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
%pi %pi
(%o2) [sin(%pi), sin(---), sin(---)]
2 3
(%i3) [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
%pi %pi %pi
(%o3) [sin(---), sin(---), sin(---)]
4 5 6
(%i4) %piargs : true$
(%i5) [sin (%pi), sin (%pi/2), sin (%pi/3)];
sqrt(3)
(%o5) [0, 1, -------]
2
(%i6) [sin (%pi/4), sin (%pi/5), sin (%pi/6)];
1 %pi 1
(%o6) [-------, sin(---), -]
sqrt(2) 5 2
(%i7) [cos (%pi/3), cos (10*%pi/3), tan (10*%pi/3),
cos (sqrt(2)*%pi/3)];
1 1 sqrt(2) %pi
(%o7) [-, - -, sqrt(3), cos(-----------)]
2 2 3
%pi and %pi/2 が整数変数にかけられた時、いくつかの恒等式が適用されます。
(%i1) declare (n, integer, m, even)$
(%i2) [sin (%pi * n), cos (%pi * m), sin (%pi/2 * m),
cos (%pi/2 * m)];
m/2
(%o2) [0, 1, 0, (- 1) ]
デフォルト値: true
%iargsがtrueの時、
引数が明らかに、虚数単位
%i
を掛けたものの時、
三角関数は双曲線関数に整理されます。
引数が明らかに実数の時でさえ、整理は実行されます; Maximaは、ただ、引数が、 %i を文字通り掛けたものかどうかを考慮します。
例:
(%i1) %iargs : false$ (%i2) [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)]; (%o2) [sin(%i x), cos(%i x), tan(%i x)] (%i3) %iargs : true$ (%i4) [sin (%i * x), cos (%i * x), tan (%i * x)]; (%o4) [%i sinh(x), cosh(x), %i tanh(x)]
引数が明らかに実数の時でさえ、整理は実行されます。
(%i1) declare (x, imaginary)$
(%i2) [featurep (x, imaginary), featurep (x, real)]; (%o2) [true, false]
(%i3) sin (%i * x); (%o3) %i sinh(x)
– 逆余弦
– 逆双曲余弦
– 逆余接
– 逆双曲余接
– 逆余割
– 逆双曲余割
– 逆正割
– 逆双曲正割
– 逆正弦
– 逆双曲正弦
– 逆正接
– -%piから%piまでの間のatan(y/x)の値をもたらします。
– 逆双曲正接
atrig1パッケージは、逆三角関数のためのいくつかの追加の整理規則を含みます。
Maximaが既に知っている規則と合わせて、
以下の角度が完全に実装されます:
0, %pi/6, %pi/4, %pi/3, %pi/2。
他の3象限の対応する角度も利用可能です。
これらを使うには、load("atrig1");を実行してください。
– 余弦
– 双曲余弦
– 余接
– 双曲余接
– 余割
– 双曲余割
デフォルト値: false
halfanglesがtrueの時、
引数expr/2の三角関数は、exprの関数に整理されます。
区間0 < x < 2*%piの実引数xに関して、
半角の正弦は簡単な公式に整理されます:
sqrt(1 - cos(x))
----------------
sqrt(2)
複雑な因子は すべての複素引数zでこの公式を正しくするために必要です:
realpart(z)
floor(-----------)
2 %pi
(- 1) (1 - unit_step(- imagpart(z))
realpart(z) realpart(z)
floor(-----------) - ceiling(-----------)
2 %pi 2 %pi
((- 1) + 1))
Maximaは、この因子と、
関数sin, cos, sinh, coshに関する類似の因子を知っています。
引数zの特別な値に関して、
これらの因子は相応に整理されます。
例:
(%i1) halfangles:false;
(%o1) false
(%i2) sin(x/2);
x
(%o2) sin(-)
2
(%i3) halfangles:true;
(%o3) true
(%i4) sin(x/2);
x
floor(-----)
2 %pi
sqrt(1 - cos(x)) (- 1)
(%o4) ----------------------------------
sqrt(2)
(%i5) assume(x>0, x<2*%pi)$
(%i6) sin(x/2);
sqrt(1 - cos(x))
(%o6) ----------------
sqrt(2)
ntrigパッケージは、
引数が形式f(n %pi/10)
―fは関数
sin, cos, tan, csc, sec, cotのいずれか―
の三角関数を整理するのに使われる整理規則の集合を含みます。
– 正割
– 双曲正割
– 正弦
– 双曲正弦
– 正接
– 双曲正接
exprの中に現れる角の和や角の倍数の三角関数、双曲線関数を展開します。
最もよい結果では、exprは展開されるべきです。
整理のユーザー制御を強化するために、
この関数は、一度に１レベルのみ、角の和もしくは角の倍数を展開します。
ただちにサインとコサインへの完全な展開を得るには、
スイッチtrigexpand: trueを設定してください。
trigexpandは、以下のグローバルフラグによって決定されます:
trigexpandもしtrueなら、
続いて現れるサインやコサインを含んでいる式すべての展開を起こします。
halfanglesもしtrueなら、
半角が整理されます。
trigexpandplustrigexpandの「和」規則を制御します。
和（例えばsin(x + y)）の展開は、
trigexpandplusがtrueの時だけ起こります。
trigexpandtimestrigexpandの「積」規則を制御します。
積(例えばsin(2 x))の展開は、
trigexpandtimesがtrueの時だけ起こります。
例:
(%i1) x+sin(3*x)/sin(x),trigexpand=true,expand;
2 2 (%o1) - sin (x) + 3 cos (x) + x
(%i2) trigexpand(sin(10*x+y)); (%o2) cos(10 x) sin(y) + sin(10 x) cos(y)
デフォルト値: true
trigexpandplusは、trigexpandの「和」規則を制御します。
trigexpandコマンドが使われるか、もしくは
trigexpandスイッチがtrueに設定されている時
和(例えばsin(x+y)))の展開は、
trigexpandplusがtrueの時だけ起こります。
デフォルト値: true
trigexpandtimesは、trigexpandの「積」規則を制御します。
trigexpandコマンドが使われるか、もしくは、
trigexpandスイッチがtrueに設定されている時、
積(例えばsin(2*x))の展開は、
trigexpandtimesがtrueの時だけ起こります。
デフォルト値: true
triginversesは、
三角関数や双曲線関数とそれらの逆関数の合成の整理を制御します。
もしallなら、
例えば、atan(tan(x))
とtan(atan(x))のどちらもxに整理されます。
もしtrueなら、
arcfun(fun(x))の整理は止められます。
もしfalseなら、
arcfun(fun(x))と
fun(arcfun(x))のどちらの整理も止められます。
xを引数とする三角と双曲の正弦、余弦の積とべきを xの倍数のそれらに結合します。 これらの関数が分母に現れた時、これらを消去しようともします。 もしxが省略されたら、exprの中の変数すべてが使われます。
poissimpも参照してください。
(%i1) trigreduce(-sin(x)^2+3*cos(x)^2+x);
cos(2 x) cos(2 x) 1 1
(%o1) -------- + 3 (-------- + -) + x - -
2 2 2 2
デフォルト値: true
trigsignがtrueの時、
三角関数への負の引数の整理を認めます。
例えば、sin(-x)は、
trigsignがtrueの時だけ、
-sin(x)になります。
tan, secなどを含む式をsin, cos, sinh, coshに整理するために、
恒等式
sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1
と
cosh(x)^2 - sinh(x)^2 = 1
を使います。
trigreduce, ratsimp, radcan
は、結果を更に整理できるかもしれません。
demo ("trgsmp.dem")は、trigsimpのいくつかの例を表示します。
三角関数の整理された標準疑似線形形式を与えます;
exprは、sin, cosもしくはtanのいくつかの有理分数であり、
それらの引数は、整数係数を持つ、いくつかの変数（もしくは核）と%pi/n (nは整数)の線形形式です。
結果は、分子と分母がsinとcosに関して線形の整理された分数です。
trigratはいつも可能なときは線形化します。
(%i1) trigrat(sin(3*a)/sin(a+%pi/3)); (%o1) sqrt(3) sin(2 a) + cos(2 a) - 1
以下の例は、 Davenport, Siret, and TournierのCalcul Formel, Masson (もしくは英語版ではAddison-Wesley), 1.5.5節, モーレイの定理から取られました。
(%i1) c : %pi/3 - a - b$ (%i2) bc : sin(a)*sin(3*c)/sin(a+b);
%pi
sin(a) sin(3 (- b - a + ---))
3
(%o2) -----------------------------
sin(b + a)
(%i3) ba : bc, c=a, a=c;
%pi
sin(3 a) sin(b + a - ---)
3
(%o3) -------------------------
%pi
sin(a - ---)
3
(%i4) ac2 : ba^2 + bc^2 - 2*bc*ba*cos(b);
2 2 %pi
sin (3 a) sin (b + a - ---)
3
(%o4) ---------------------------
2 %pi
sin (a - ---)
3
%pi
- (2 sin(a) sin(3 a) sin(3 (- b - a + ---)) cos(b)
3
%pi %pi
sin(b + a - ---))/(sin(a - ---) sin(b + a))
3 3
2 2 %pi
sin (a) sin (3 (- b - a + ---))
3
+ -------------------------------
2
sin (b + a)
(%i5) trigrat (ac2);
(%o5) - (sqrt(3) sin(4 b + 4 a) - cos(4 b + 4 a) - 2 sqrt(3) sin(4 b + 2 a) + 2 cos(4 b + 2 a) - 2 sqrt(3) sin(2 b + 4 a) + 2 cos(2 b + 4 a) + 4 sqrt(3) sin(2 b + 2 a) - 8 cos(2 b + 2 a) - 4 cos(2 b - 2 a) + sqrt(3) sin(4 b) - cos(4 b) - 2 sqrt(3) sin(2 b) + 10 cos(2 b) + sqrt(3) sin(4 a) - cos(4 a) - 2 sqrt(3) sin(2 a) + 10 cos(2 a) - 9)/4
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