Maxima branch_5_47_base_7_g39559bd_dirty Manual: Introduction to atensor

atensorは、代数テンソル操作パッケージです。 atensorを使うには、load("atensor")をタイプしてください。続いて、init_atensor関数コールしてください。

atensorの本質は非可換(ドット)積演算子 (".")の整理ルール一式です atensorはいくつかの代数型を認識します; init_atensor関数がコールされた時、対応する整理ルールが有効になります。

atensorの能力は、四元数代数を2つの基底ベクトルを持つClifford代数 Cl(0,2)として定義することで実演することができます。 3つの四元数虚数単位は2つの基底ベクトルとその積、すなわち以下の通りです:

    i = v     j = v     k = v  . v
         1         2         1    2

atensorパッケージは四元数代数に関する組み込みの定義を持ちますが、この例では使わず、四元数乗算表を行列として組むよう試みます:

(%i1) load("atensor");
(%o1)       /share/tensor/atensor.mac
(%i2) init_atensor(clifford,0,0,2);
(%o2)                                done
(%i3) atensimp(v[1].v[1]);
(%o3)                                 - 1
(%i4) atensimp((v[1].v[2]).(v[1].v[2]));
(%o4)                                 - 1
(%i5) q:zeromatrix(4,4);
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%o5)                           [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
                                [            ]
                                [ 0  0  0  0 ]
(%i6) q[1,1]:1;
(%o6)                                  1
(%i7) for i thru adim do q[1,i+1]:q[i+1,1]:v[i];
(%o7)                                done
(%i8) q[1,4]:q[4,1]:v[1].v[2];
(%o8)                               v  . v
                                     1    2
(%i9) for i from 2 thru 4 do for j from 2 thru 4 do
      q[i,j]:atensimp(q[i,1].q[1,j]);
(%o9)                                done
(%i10) q;

                   [    1        v         v      v  . v  ]
                   [              1         2      1    2 ]
                   [                                      ]
                   [   v         - 1     v  . v    - v    ]
                   [    1                 1    2      2   ]
(%o10)             [                                      ]
                   [   v      - v  . v     - 1      v     ]
                   [    2        1    2              1    ]
                   [                                      ]
                   [ v  . v      v        - v       - 1   ]
                   [  1    2      2          1            ]

atensorは添字付きシンボルを基底ベクトルと認識します。シンボルはasymbolの中に記憶されたものであり、添字は1からadimまで間です。添字付きシンボルだけに関して双一次形式 sf, af, avが評価されます。評価は fun(v[i],v[j])に aform[i,j]の値を代入しますここで、vは asymbolの値を表し、 funは afか sfを示します; あるいは、 av(v[i],v[j])に v[aform[i,j]]を代入します。

言うまでもなく、関数 sf, af, avは再定義するこができます。

atensorパッケージがロードされる時、以下のフラグが設定されます:

dotscrules:true;
dotdistrib:true;
dotexptsimp:false;

もし非結合代数で実験したいなら、 dotassocを falseに設定することも考えるかもしれません。しかし、この場合、 atensimpはいつも望みの整理を得ることができるわけではありません。

27.1 Introduction to atensor